Solución a… Los apretones de manos

El acertijo de los apretones de manos dice así:

“En una reunión, todos los asistentes se dieron la mano con todos los demás. Hubo 66 apretones de manos. ¿Cuántas personas estaban en la reunión?”

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

¡Espera!

Si aún no lo habías visto y no has intentado resolverlo, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo.

¿Quieres ver la solución ya?

Continúa entonces…

Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).

Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).

Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D).

En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números naturales consecutivos:

1 +2 +3 + … + n

Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1,y viene dada por:

n (1 +n) / 2

Así que, tenemos que resolver la ecuación:

n (1 +n) / 2 = 66

que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como:

n ² + n – 132 = 0

Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado se deduce que había 12 personas en la reunión.

Si recurrimos a la combinatoria, nuestro problema se trata de combinaciones de n elementos tomados de dos en dos (sin repetición), cuya expresión es la siguiente:

Luego, en nuestro caso tenemos que:

Simplificando los factoriales nos queda:

Y, simplificando aún más, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

n² – n – 132 = 0

De donde se obtiene como solución válida al problema  n=12, es decir, había 12 personas en la reunión.

 Pero…

… hay una tercera forma de plantear este problema de los apretones de manos que me gusta personalmente, y es recurriendo a la geometría.

Podemos considerar a cada persona de la reunión como un vértice de un polígono cualquiera, de manera que tendríamos un polígono de n vértices y, por tanto, también de n lados.

Planteado así, un apretón de manos entre dos personas sería la línea que une los vértices que representan a esas dos personas.

De esta manera, el número total de apretones de manos será la suma de las diagonales y lados de dicho polígono.

Como en un polígono de n lados, el número de diagonales viene dado por la expresión:

El número total de apretones será:

Igualando ahora a 66 (el número total de apretones de manos que nos dicen que ha habido en la reunión)…

Y simplificando obtenemos la ecuación de segundo grado que vimos antes al resolver el problema utilizando la combinatoria:

n² – n – 132 = 0

Cuya solución válida era n=12, es decir, en la reunión estaban 12 personas.

Como comprobación, si dibujáis ahora un polígono de 12 vértices (12 lados) y trazáis todas sus diagonales posibles, observaréis que junto con sus 12 lados suman en total 66.

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